Schauder Fixed Point Theorem

释义 Definition

Schauder不动点定理：在一个（通常是巴拿赫空间中的）非空、凸、闭的集合上，若映射是连续的，并且把该集合映到其自身的一个相对紧（预紧）子集里（常见表述为“连续紧映射/完全连续算子”），则该映射至少存在一个不动点（即存在 \(x\) 使 \(T(x)=x\)）。
常用于证明非线性方程、积分方程、偏微分方程解的存在性。（另有多种等价/常用表述，如“将集合映入自身且像相对紧”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈʃaʊdər fɪkst pɔɪnt ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Schauder fixed point theorem ensures a fixed point exists.
Schauder不动点定理保证不动点的存在。

Using the Schauder fixed point theorem, we show the nonlinear integral equation has at least one continuous solution on \([0,1]\).
利用Schauder不动点定理，我们证明该非线性积分方程在\([0,1]\)上至少有一个连续解。

词源与背景 Etymology & Background

该定理由波兰数学家 Juliusz Schauder（尤利乌什·绍德尔）的工作发展而来，属于泛函分析与拓扑方法中的经典存在性工具。“fixed point（不动点）”源自拓扑与分析中对“映射把某个点映回自身”的核心概念的命名；“Schauder”则表明这是以提出/发展该结果的数学家姓氏命名的定理。

相关词 Related Words

• Banach Fixed Point Theorem
• Brouwer Fixed Point Theorem
• Leray–Schauder Principle
• Compact Operator
• Completely Continuous Operator
• Convex Set
• Arzelà–Ascoli Theorem
• Topological Degree

文献与名著中的出现 Literary / Notable Works

• Juliusz Schauder：早期相关论文（常被引用为其在函数空间中建立不动点结果的工作，20世纪30年代）。
• Haim Brezis，《Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations》（讨论不动点方法在PDE中的应用）。
• Eberhard Zeidler，《Nonlinear Functional Analysis and its Applications》（系统使用Schauder与Leray–Schauder工具处理非线性问题）。
• Lawrence C. Evans，《Partial Differential Equations》（在非线性分析/存在性证明的背景中常提及相关不动点思想与工具）。